【題目】如圖,直棱柱中,分別是的中點(diǎn),,
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)連接AC1,交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1的中點(diǎn),連接DF,則BC1∥DF,由此能證明BC1∥平面A1C.
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系C﹣xyz,利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.
(1)如圖,連接交于點(diǎn)F,則點(diǎn)F為的中點(diǎn),連接.
因?yàn)?/span>D是的中點(diǎn),
所以在中,是中位線,
所以.
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(2)因?yàn)?/span>,
所以,即.
則以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),
則,,,
則,,.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則,即,
取,則,,
則.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則,即,
取,則,,
則.
所以,
所以,
即二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè),求.
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【題目】銷售甲種商品所得利潤是萬元,它與投入資金萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式;銷售乙種商品所得利潤是萬元,它與投入資金萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式,其中,為常數(shù).現(xiàn)將3萬元資金全部投入甲、乙兩種商品的銷售;若全部投入甲種商品,所得利潤為萬元;若全部投入乙種商品,所得利潤為1萬元,若將3萬元資金中的萬元投入甲種商品的銷售,余下的投入乙種商品的銷售,則所得利潤總和為萬元.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)怎樣將3萬元資金分配給甲、乙兩種商品,才能使所得利潤總和最大,并求最大值.
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【題目】已知平面多邊形中,,,,,,為的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿折起,使.
(1)證明:平面;
(2)求三棱錐的體積.
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【題目】某校舉辦了一場主題為“愛詩詞、愛祖國”的詩詞知識競賽,從參賽的全體學(xué)生中抽出30人的成績作為樣本.對這30名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并按、、、、、分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;
(2)估計(jì)參加這次知識競賽的學(xué)生的平均成績及成績的中位數(shù)(平均成績用每組中點(diǎn)值做代表,結(jié)果均保留一位小數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張三同學(xué)從每年生日時(shí)對自己的身高測量后記錄如表:
(附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:,)
(1)求身高關(guān)于年齡的線性回歸方程;(可能會(huì)用到的數(shù)據(jù):(cm))
(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析張三同學(xué)歲起到歲身高的變化情況,如 歲之前都符合這一變化,請預(yù)測張三同學(xué) 歲時(shí)的身高。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心為,半徑為1的圓.
(1)求曲線, 的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)為曲線上的點(diǎn), 為曲線上的點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】給出三個(gè)命題:①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則直線平行平面;②夾在兩平行平面間的異面直線段的中點(diǎn)的連線平行于這個(gè)平面;③過空間一點(diǎn)必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是( )
A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系.己知直線的直角坐標(biāo)方程為,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)t為參數(shù),若,求直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知:直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),且,,依次成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.
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