Question

【題目】已知平面多邊形中，，，，，，為的中點，現將三角形沿折起，使.

（1）證明：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連，即可證明，結合即可證明四邊形為平行四邊形，問題得證。

（2）取中點，連接，，先說明平面，即可求得三角形為等邊三角形，取的中點，先說明平面，利用體積變換及中點關系，將轉化成，問題得解。

解：（1）取的中點，連.

∵為中點，∴為的中位線，

∴.

又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）由題意知為等腰直角三角形，為直角梯形.

取中點，連接，，

∵，∴，

∵，，，∴平面，

∴平面，∵平面，∴.

∴在直角三角形中，，，∴，

∴三角形為等邊三角形.

取的中點，則，，，

∴平面，，

∵為的中點，∴到平面的距離等于到平面的距離的一半，

∴

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