Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+1，若存在實(shí)數(shù)t，使得不等式f（x+t）≤x對(duì)任意的x∈[1，m]（m＞1）恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f（x+t）≤x恒成立，即g（x）=f（x+t）-x≤0恒成立，則需滿足g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范圍，討論m的取值即可得到m的最大值．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，
由題意f（x+t）-x≤0對(duì)任意的x∈[1，m]（m＞1）恒成立，
即g（1）≤0且g（m）≤0．
由g（1）≤0，得t∈[-3，-1]，
由g（m）≤0，得m²+（2t+1）m+（t+1）²≤0，
則當(dāng)t=-1時(shí)，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1；
當(dāng)t=-3時(shí)，得到m²-5m+4≤0，解得1≤m≤4．
綜上得到：m∈[1，4]，
∴m的最大值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時(shí)取條件的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了靈活運(yùn)用二次函數(shù)求最值的方法的能力，是中檔題．