Question

14．設(shè)a，b，c∈R，且它們的絕對(duì)值都不大于1，求證：ab+bc+ca+1≥0．

Answer 1

分析 通過將字母a作為未知數(shù)，b、c看做系數(shù)，構(gòu)造一次函數(shù)f（a）=（b+c）a+bc+1，利用f（a）在[-1，1]上恒為非負(fù)即得結(jié)論．

解答 證明：設(shè)f（a）=（b+c）a+bc+1，則f（a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，
∵a，b，c∈[-1，1]，
∴f（1）=b+c+bc+1=b（1+c）+（c+1）=（b+1）（c+1）≥0，
f（-1）=-（b+c）+bc+1=b（c-1）+1-c=（1-b）（1-c）≥0，
∴f（a）在[-1，1]上恒為非負(fù)，
∴ab+bc+ca+1≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，本解法的關(guān)鍵在于具有函數(shù)意識(shí)，運(yùn)用函數(shù)思想構(gòu)造一次函數(shù)，由一次函數(shù)的圖象性質(zhì)使問題得以解決，注意解題方法的積累，屬于中檔題．