Question

6．某人10萬元買了1輛車，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)．養(yǎng)路費(fèi)和油費(fèi)共1萬元，年維修費(fèi)第一年0.2萬元，以后每年遞增0.1萬元，則這種汽車使用10$\sqrt{2}$年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少．

Answer 1

分析 通過記第n年維修費(fèi)用為a_n，計(jì)算可知a_n=0.1n+0.1（萬元），進(jìn)而可知前n年維修費(fèi)用A_n=$\frac{n（0.1n+0.3）}{2}$（萬元），化簡(jiǎn)可知年平均費(fèi)用S=$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$+$\frac{2.3}{2}$，進(jìn)而利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，記第n年維修費(fèi)用為a_n，則a_n=0.2+0.1（n-1）=0.1n+0.1（萬元），
則前n年維修費(fèi)用A_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（0.2+0.1n+0.1）}{2}$=$\frac{n（0.1n+0.3）}{2}$（萬元），
故年平均費(fèi)用S=$\frac{10+{A}_{n}+n}{n}$=$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$+$\frac{2.3}{2}$，
∵$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$≥2$\sqrt{\frac{10}{n}•\frac{0.1n}{2}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{10}{n}$=$\frac{0.1n}{2}$即n=10$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴這種汽車使用10$\sqrt{2}$年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少，
故答案為：10$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查等差數(shù)列的求和，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．