Question

如圖，F₁（-c，0），F₂（c，0）分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過點F₁作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F₂作直線PF₂的垂線交直線l：x=

a2

c

于點Q，若點Q的坐標為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1得y₁=

b2

a

∴P（-c，

b2

a

）
∵點Q的坐標是（1，-4），PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

0+4

c-1

=-1
∵

a2

c

=1，c²=a²-b²
∴a=2，c=4，b=

c2-a2

=2

3

∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-4，0），F₂（4，0），P（-4，6），則|PF₁|=6，|PF₂|=10
設∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程與x軸交于M（x，0），則由角平分線的性質可得

10

6

=

4-x

x+4

∴x=-1，∴M（-1，0）
∴∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程為

y-0

6-0

=

x+1

-4+1

，即2x+y+2=0．