Question

函數(shù)f（x）=

2ex+1

ex+1

，g（x）=ln（x+

1+x2

）．
（1）求證：對任意實數(shù)x，f（x）+f（-x）與g（x）+g（-x）均為定值；
（2）令F（x）=f（x）+g（x），試說明F（x）的單調(diào)性，再求F（x）在區(qū)間[-3，3]的最大值與最小值之和．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）化簡可得f（x）+f（-x）=

2ex+1

ex+1

+

2e-x+1

e-x+1

=

2ex+1

ex+1

+

2+ex

ex+1

=3；g（x）+g（-x）=0；
（2）求導(dǎo)F′（x）=

ex

(ex+1)2

+

1

1+x2

＞0，故為增函數(shù)，從而求最值．

解答： 解：（1）證明：f（x）+f（-x）=

2ex+1

ex+1

+

2e-x+1

e-x+1

=

2ex+1

ex+1

+

2+ex

ex+1

=3；
g（x）+g（-x）=ln（x+

1+x2

）+ln（-x+

1+x2

）
=ln（1+x²-x²）=0．
故對任意實數(shù)x，f（x）+f（-x）與g（x）+g（-x）均為定值．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=

2ex+1

ex+1

+ln（x+

1+x2

），
F′（x）=

ex

(ex+1)2

+

1

1+x2

＞0，
故F（x）在其定義域上是增函數(shù)，
F（x）_max+F（x）_min=f（-3）+g（-3）+f（3）+g（3）=3．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．