Question

20．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，且滿足3S_n+4a_n-1=5a_n+3S_n-1（n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}+1）{（a}_{n+1}+1）}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1化簡可知a_n=2a_n-1（n≥2），進而可知數列{a_n}是首項、公比均為2的等比數列，計算即得結論；
（2）通過（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，進而并項相加即得結論．

解答 解：（1）∵3S_n+4a_n-1=5a_n+3S_n-1（n≥2），
∴3a_n+4a_n-1=5a_n，即a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2，
∴數列{a_n}是首項、公比均為2的等比數列，
于是其通項公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}+1）{（a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
則T_n=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．