Question

11．已知曲線f（x）=ke^-x在點x=0處的切線與直線x-2y-1=0垂直，若x₁，x₂是函數(shù)g（x）=f（x）-|lnx|的兩個零點，則（　�。�

• A． $\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁x₂＜$\frac{1}{e}$
• B． $\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁x₂＜1
• C． $\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1
• D． e＜x₁x₂＜e²

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得在x=0處的切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得k的值，令g（x）=0，則|lnx|=2e^-x，作出y=|lnx|和y=2e^-x的圖象，可知恰有兩個交點，設(shè)零點為x₁，x₂且|lnx₁|＞|lnx₂|，再結(jié)合零點存在定理，可得結(jié)論．

解答 解：f（x）=ke^-x在的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-ke^-x，
在點x=0處的切線斜率為k=-k，
由切線與直線x-2y-1=0垂直，可得-k=-2，
解得k=2，則f（x）=2e^-x，
令g（x）=0，則|lnx|=2e^-x，
作出y=|lnx|和y=2e^-x的圖象，
可知恰有兩個交點，
設(shè)零點為x₁，x₂且|lnx₁|＞|lnx₂|，0＜x₁＜1，x₂＞1，
故有$\frac{1}{{x}_{1}}$＞x₂，即x₁x₂＜1．
又g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=2${e}^{-\frac{1}{{e}^{2}}}$-2＜0，g（$\frac{1}{e}$）=2${e}^{-\frac{1}{e}}$-1＞0，
可得$\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁＜$\frac{1}{e}$，
即x₁x₂＞$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即有$\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁x₂＜1．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確作出函數(shù)圖象是關(guān)鍵．