Question

18．已知以點(diǎn)C（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．
（1）求證：△AOB的面積為定值；
（2）設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓C的方程，求得A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB，計(jì)算可得結(jié)論． 
（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，根據(jù)C、H、O三點(diǎn)共線，K_MN=-2，由直線OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a的值，可得所求的圓C的方程．

解答 （1）證明：由題設(shè)知，圓C的方程為（x-a）²+（y-$\frac{2}{a}$）²=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得x²-2ax+y²-$\frac{4}{a}$y=0．
當(dāng)y=0時(shí)，x=0或2a，則A（2a，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=0或$\frac{4}{a}$，則B（0，$\frac{4}{a}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$|2a|•|$\frac{4}{a}$|=4為定值．  
（2）解∵OM=ON，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，
∴C、H、O三點(diǎn)共線，K_MN=-2，則直線OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2或a=-2．
∴圓心為C（2，1）或C（-2，-1），
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5．
由于當(dāng)圓方程為（x+2）²+（y+1）²=5時(shí)，直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，
此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，
∴所求的圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．