Question

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若存在，使恒成立，則稱為“型函數(shù)”；若存在，使恒成立，則稱為“型函數(shù)”.已知函數(shù).

（1）設(shè)函數(shù).若，且為“型函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù).證明：當(dāng)，為“（1）型函數(shù)”；

（3）若，證明存在唯一整數(shù)，使得為“型函數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將代入，依題意，即恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的最小值即可得解；

（2）分析可知，即證，令，，方法一：由不等式的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即得證；方法二：令，再對函數(shù)求導(dǎo)，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得到的單調(diào)性，由此得證；

（3）問題等價(jià)于證明存在唯一整數(shù)，恒成立，易知當(dāng)及時(shí)，不合題意，故只需證明時(shí)符合題意即可，方法一：記，分當(dāng)或以及當(dāng)時(shí)證明即可；

方法二：記，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于0即可得證.

（1）時(shí)，.

因?yàn)?/span>為“型函數(shù)”，

所以恒成立，即恒成立.

設(shè)，則恒成立，

所以在，上單調(diào)遞減，

所以（1），

所以的取值范圍是；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證為“（1）型函數(shù)”，

即證，即證.

令，則，

方法一：當(dāng)時(shí)，，，則；

當(dāng)時(shí)，，，則；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則（1），又（1），所以，

所以為“（1）型函數(shù)”.

方法二：令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又（1），

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

以下同方法一.

（3）證明：函數(shù)為“型函數(shù)”等價(jià)于恒成立，

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，

方法一：，

①當(dāng)或時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，，由（2）知，

所以，

綜上，存在唯一整數(shù)，使得為“型函數(shù)”.

方法二：，，

記，則，

所以在上單調(diào)遞減.

易得，

所以；

又因?yàn)?/span>，

所以存在唯一零點(diǎn)，使得，

且為的最大值點(diǎn)，

所以，

注意到在上單調(diào)遞增，

所以，所以.

綜上，存在唯一整數(shù)，使得為“型函數(shù)”.