【題目】如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°

)求證:AC⊥平面BDE

)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:()因為DE平面ABCD,所以DEAC.因為ABCD是正方形,所以ACBD,從而AC平面BDE;()建立空間直角坐標系D-xyz,分別求出平面BEF的法向量為和平面BDE的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值

試題解析:(1)證明:因為DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以DE⊥AC. 因為ABCD是正方形,所以AC⊥BD

BD,DE相交且都在平面BDE內,從而AC⊥平面BDE

2)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標系Dxyz,如圖所示.

因為DE平面ABCD,所以BE與平面ABCD所成角就是DBE.已知BE與平面ABCD所成角為60°,所以DBE60°,所以

AD3可知DE3AF

A3,00),F3,0, ),E0,0,3),B3,30),C03,0),

得=(0,-3, ),=(3,0,-2).設平面BEF的法向量為n=(x,yz),

則即z,則n=(4,2, ).

因為AC⊥平面BDE,所以為平面BDE的法向量m=(3,-3,0),

所以cosnm〉=

因為二面角為銳角,所以二面角FBED的余弦值為

練習冊系列答案
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