Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[3.6]=3，[-3.6]=-4，關(guān)于函數(shù)f（x）=[

x+1

3

-[

x

3

]]，有下列命題：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0，1}；
④函數(shù)g（x）=f（x）-cosπx在區(qū)間（0，π）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
其中正確的命題為

 

（把正確答案的序號(hào)填在橫線上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的周期性，奇偶性和值域分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x+3）=[

x+4

3

-[

x+3

3

]]=[

x+1

3

+1-[

x

3

+1]]=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期，故①正確．
f（x）=[

x+1

3

-[

x

3

]]=

0， x∈[0，2) 1， x∈[2，3)

，結(jié)合函數(shù)的周期性可得函數(shù)的值域?yàn)閧0，1}，則函數(shù)不是偶函數(shù)，故②錯(cuò)，③正確．
f（x）=[

x+1

3

-[

x

3

]]=

0， x∈[0，2)∪[3，π) 1， x∈[2，3)

，故g（x）=f（x）-cosπx在區(qū)間（0，π）內(nèi)有3個(gè)不同的零點(diǎn)

1

2

，

3

2

，2，故④錯(cuò)誤．
則正確的命題是①③，
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，正確理解函數(shù)f（x）的意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．