Question

17．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減；
（Ⅲ）求證：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知直接求得${a}_{2}=\sqrt{5}$，${a}_{3}=\sqrt{\sqrt{5}+2}$；
（Ⅱ）由已知得${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，則${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}+2$，進(jìn)一步可得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，結(jié)合a_n＞0，可得a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號(hào)，再由${a}_{2}-{a}_{1}=\sqrt{5}-3＜0$，可得a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減；
（Ⅲ）由${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，得${{a}_{n}}^{2}-4={a}_{n-1}-2$，即（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，得$|{a}_{n}-2|=\frac{|{a}_{n-1}-2|}{{a}_{n}+2}$，由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，知a_n-2與a_n-1-2同號(hào)，知a_n-2＞0，得到$\frac{1}{{a}_{n}+2}＜\frac{1}{4}$．則答案得證．

解答 （Ⅰ）解：由a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，求得${a}_{2}=\sqrt{5}$，${a}_{3}=\sqrt{\sqrt{5}+2}$；
（Ⅱ）證明：a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，得a_n＞0，
且${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，則${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}+2$，
聯(lián)立可得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號(hào)，
由${a}_{2}-{a}_{1}=\sqrt{5}-3＜0$，可得a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減；
（Ⅲ）證明：由${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，得${{a}_{n}}^{2}-4={a}_{n-1}-2$，
（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
∴$|{a}_{n}-2|=\frac{|{a}_{n-1}-2|}{{a}_{n}+2}$，
由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，知a_n-2與a_n-1-2同號(hào)，
由于a₁-2=3-2=1＞0，可知a_n-2＞0，
∴a_n+2＞4，則$\frac{1}{{a}_{n}+2}＜\frac{1}{4}$．
∴|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，屬難題．