Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$+|x+a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{2}{3}$，1]時(shí)，f（x）≤x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得a=2時(shí)，f（x）的解析式，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：|a|+|b|≥|a-b|，即可得到所求最小值；
（2）由題意可得當(dāng)x∈[$\frac{2}{3}$，1]時(shí)，f（x）=1-x+|x+a|≤x恒成立，即為g（x）=|x+a|-2x+1≤0在x∈[$\frac{2}{3}$，1]時(shí)恒成立，即g（x）_max≤0，討論x+a的符號(hào)，判斷g（x）的單調(diào)性，即可得到最大值，解a的不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
當(dāng)（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2時(shí)，可以取到等號(hào)，
故f（x）的最小值為3；
（2）由于f（x）=|x-1|+|x+a|，
當(dāng)x∈[$\frac{2}{3}$，1]時(shí)，f（x）=1-x+|x+a|≤x恒成立，
變形為g（x）=|x+a|-2x+1≤0在x∈[$\frac{2}{3}$，1]時(shí)恒成立，即g（x）_max≤0，
當(dāng)x+a≥0時(shí)，g（x）=x+a-2x+1=-x+a+1，此時(shí)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x+a＜0時(shí)，g（x）=-x-a-2x+1=-3x-a+1，此時(shí)g（x）仍單調(diào)遞減．
由于g（x）圖象連續(xù)，故g（x）在R上單調(diào)遞減，
g（x）_max=g（$\frac{2}{3}$）=|a+$\frac{2}{3}$|-$\frac{1}{3}$≤0，
變形為-$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{3}$，
解得a的范圍是[-1，-$\frac{1}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，分類討論的思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．