Question

15．四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，其和為8，若前三個(gè)數(shù)依次分別加上2，1，1，則此三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．
（1）求這四個(gè)數(shù)；
（2）求以這四個(gè)數(shù)為前4項(xiàng)的等差數(shù)列前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-d，a，a+d，a+2d，推導(dǎo)出2a+d=4，a＜2，再由（a-d+2）（a+d+1）=（a+1）²，能求出這四個(gè)數(shù)．
（2）由a₁=-1，d=2，能求出S_n．

解答 解：（1）∵四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，其和為8，
前三個(gè)數(shù)依次分別加上2，1，1，則此三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．
∴設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-d，a，a+d，a+2d，
由a-d+a+a+d+a+2d=8，
即2a+d=4，d=4-2a，
由于是遞增數(shù)列，所以d＞0，即a＜2，
又前三個(gè)數(shù)依次分別加上2，1，1，此三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，
由（a-d+2）（a+d+1）=（a+1）²，
即（a-4+2a+2）（a+4-2a+1）=（a+1）²，
解得a=1或a=$\frac{11}{4}$（舍去），
∴d=4-2a=2，∴這四個(gè)數(shù)分別是：-1，1，3，5．
（2）∵a₁=-1，d=2，
∴S_n=-n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-2n．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的前四項(xiàng)及前n項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．