Question

已知橢圓C中心在原點，焦點在坐標軸上，直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點是M，點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點F₂，橢圓C另一個焦點是F₁，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過點（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△F₂PQ的內(nèi)切圓面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點是M，點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點F₂，可知焦點在x軸上且M點坐標（c，）．F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．利用，可得c=1，設橢圓C方程
M點代入橢圓C方程，即可求得橢圓C方程；
（Ⅱ）要使△F₂PQ的內(nèi)切圓面積最大，即使△F₂PQ的面積最大，根據(jù)F₂F₁為定長，可得當且僅當直線L過（-1，0），與x軸垂直時△F₂PQ的面積最大．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點是M，點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點F₂，
可知焦點在x軸上且M點坐標（c，）．F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
∵，
∴，∴c=1．設橢圓C方程：
M點坐標（1，）代入橢圓C方程得，
∵c=-1，
∴a=2，b=．
∴橢圓C方程為
（Ⅱ）要使△F₂PQ的內(nèi)切圓面積最大，即使△F₂PQ的面積最大，
∵F₂F₁為定長，
∴當且僅當直線L過（-1，0），與x軸垂直時△F₂PQ的面積最大
此時P（-1，），Q（-1，-）
∴|F₂P|=|F₂Q|=，|PQ|=3
設△F₂PQ的內(nèi)切圓半徑為r，則
∴r=，其面積S=．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形的內(nèi)切圓的面積，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．