試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)=
2xx-1
在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．
分析：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問題．在解答時(shí)，首先要結(jié)合定義域和所給區(qū)間任設(shè)兩個(gè)變量并保證大小關(guān)系，然后通過作差法即可獲得相應(yīng)變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可獲得問題的解答．
解答：證明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
2x1
x1-1
-
2x2
x2-1
═
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)

由于0＜x1＜x2＜1，x1-1＜0，x2-1＜0，x2-x1＞0，
故f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．
所以函數(shù)f(x)=
2x
x-1
在（0，1）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及分解因式等知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+x的定義域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域?yàn)锳．函數(shù) g(x)=x3-3tx+
1
2
t的定義域?yàn)閇0，1]，值域?yàn)锽．
（1）求f （x） 的定義域D和值域 A；
（2）（理） 試用函數(shù)單調(diào)性的定義解決下列問題：若存在實(shí)數(shù)x0∈（0，1），使得函數(shù) g(x)=x3-3tx+
1
2
t在[0，x0]上單調(diào)遞減，在[x0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)t的取值范圍并用t表示x0．
（3）（理） 是否存在實(shí)數(shù)t，使得A⊆B成立？若存在，求實(shí)數(shù)t 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）（文） 是否存在負(fù)實(shí)數(shù)t，使得A⊆B成立？若存在，求負(fù)實(shí)數(shù)t 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（5）（文） 若函數(shù)g(x)=x3-3tx+
1
2
t在定義域[0，1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期期末考試（一模）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（1）若函數(shù)圖像上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若不等式在有解，求的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年浙江省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本題12分）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（1）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)。

（3）設(shè)常數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題12分）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（1）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)。

（3）設(shè)常數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值；

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