Question

（2012•珠海一模）在平面直角坐標系中，已知兩圓C₁：（x-1）²+y²=25和C₂：（x+1）²+y²=1，動圓在C₁內(nèi)部且和圓C₁相內(nèi)切并和圓C₂相外切，動圓圓心的軌跡為E．
（1）求E的標準方程；
（2）點P為E上一動點，點O為坐標原點，曲線E的右焦點為F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動圓半徑為r，消去r，根據(jù)圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心D的軌跡，進而可求其方程．
（2）解法一：首先有點P在E上，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出P的坐標，再表達出|PE|，|PO|，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出最大值；
解法二：設(shè)P（x，y），x∈[-3，3]，先利用x，y表示出|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1，再利用點P（x，y）滿足

x2

9

+

y2

8

=1，將原式化成|PO|²+|PF|²=

2

9

(x-

9

2

)2+

25

2

，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出|PO|²+|PF|²的最小值．

解答：解：（1）設(shè)動圓圓心D（x，y），半徑為r，由題意，動圓內(nèi)切于圓C₁，且和圓C₂相外切，
∵|DC₁|=5-r，|DC₂|=1+r，
∴|DC₁|+|DC₂|=6＞|C₁C₂|=2
∴D點的軌跡圖形E是C₁、C₂為焦點的橢圓    （3分）
其中2a=6，c=1，
∴a=3，b²=a²-c²=8（4分）
∴D點的軌跡圖形E：

x2

9

+

y2

8

=1（6分）
（2）解法一：由題設(shè)知F（1，0），
∵P在E上
∴設(shè)P(3cosθ，2

2

sinθ)，θ∈[0，2π]（8分）
則|PF|²=(3cosθ-1)2+(2

2

sinθ)2=9cos²θ-6cosθ+1+8sin²θ=cos²θ-6cosθ+9（9分）
|PO|²=(3cosθ)2+(2

2

sinθ)2=cos2θ+8（10分）
∴|PF|2+|PO|2=2cos2θ-6cosθ+17=2(cosθ-

3

2

)2+

25

2

（12分）
∵cosθ∈[-1，1]，
∴當cosθ=1時，|PO|²+|PF|²的最小值為13．（14分）
解法二：設(shè)P（x，y），x∈[-3，3]，（7分）
則|PO|²=x²+y²，（8分）|PF|²=（x-1）²+y²（9分）
∴|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1（10分）
點P（x，y）滿足

x2

9

+

y2

8

=1，
∴y2=8(1-

x2

9

)，（11分）
∴|PO|²+|PF|²=

2

9

(x-

9

2

)2+

25

2

（12分）
∵x∈[-

2

，

2

]，
∴當x=3時，|PO|²+|PF|²的最小值為13．（14分）

點評：本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及判定方法和橢圓的定義、標準方程，橢圓的參數(shù)方程，考查最值問題．