Question

（2013•萊蕪二模）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

3

，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上
（I）當(dāng)AE：EA₁=1：2時，求證DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)E，使三棱錐C₁-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的

1

3

，若存在，求AE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）證明BD⊥DE，說明△ADE是直角三角形，求出∠ADE=30°，說明△DCC₁是直角三角形，求出∠C₁DC=60°，然后證明DE⊥BC₁．
（Ⅱ）設(shè)AE=h，利用S△DEC1=SAA1C1C-S△AED-S△DCC1-S△EA1C1，通過VC1-BDE=VB-C1DE求出棱錐的體積，利用三棱錐C₁-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的

1

3

，求出h，然后說明存在E即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以三角形△ABC是正三角形，
又因為D是AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CAA₁C₁，所以BD⊥DE，
因為AE：EA₁=1：2，AB=2，AA1=

3

，所以AE=

3

3

，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
在Rt△DCC₁中∠C₁DC=60°，
所以∠EDC₁=90°即：DE⊥BC₁．
（Ⅱ）設(shè)AE=h，則A₁E=

3

-h，
∴S△DEC1=SAA1C1C-S△AED-S△DCC1-S△EA1C1
=2

3

-

1

2

h-(

3

-h)-

3

2

=

3

2

+

1

2

h，
∵BD⊥平面ACC₁A₁，
VC1-BDE=VB-C1DE=

1

3

(

3

2

+

1

2

h)•

3

=

1

2

+

3

6

h
又V棱柱=

1

2

×2×

3

×

3

=3，
∴

1

2

+

3

6

h=1
解得：h=

3

≤

3

，
故存在點(diǎn)E，E為A₁時，三棱錐C₁-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的

1

3

，

點(diǎn)評：本題考查直線與直線的垂直的證明，棱錐的體積的求法，存在性問題的解題的策略，考查空間想象能力以及邏輯推理與計算能力．