Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-tcosx．若其導(dǎo)函數(shù)f′（x）在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍為（　　）

• A． [-1，-$\frac{1}{3}$]
• B． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• C． [-1，1]
• D． [-1，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)f′（x）=x+tsinx，并設(shè)g（x）=f′（x），并求出g′（x）=1+tcosx，由f′（x）在R上單調(diào)遞增即可得出tcosx≥-1恒成立，這樣即可求出t的取值范圍．

解答 解：f′（x）=x+tsinx，設(shè)g（x）=f′（x）；
∵f′（x）在R上單調(diào)遞增；
∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；
∴tcosx≥-1恒成立；
∵cosx∈[-1，1]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-t≥-1}\\{t≥-1}\end{array}\right.$；
∴-1≤t≤1；
∴實數(shù)t的取值范圍為[-1，1]．
故選：C．

點(diǎn)評 考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系．