Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x
（1）若x∈[0，

π

2

]，求使f（x）為正值的x的集合；
（2）若關(guān)于x的方程[f（x）]²+f（x）+a=0在[0，

π

4

]內(nèi)有實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡函數(shù)的解析式為f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），根據(jù) x∈[0，

π

2

]，求得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．令0＜2x-

π

4

≤

3π

4

，求得x的集合．
（2）令t=f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），由x∈[0，

π

4

]時，求得t∈[0，2]，方程[f（x）]²+f（x）+a=0，即a=-t²-t=-(t+

1

2

)2+

1

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．
令0＜2x-

π

4

≤

3π

4

，求得 

π

8

＜x≤

π

2

，即使f（x）為正值的x的集合為{x|

π

8

＜x≤

π

2

}．
（2）令t=f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），在x∈[0，

π

4

]時，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

π

4

，t∈[0，2]，
∴方程[f（x）]²+f（x）+a=0，即 a=-t²-t=-(t+

1

2

)2+

1

4

∈[-6，0]．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，三角恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．