Question

15．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2，E、F分別是棱DD₁、C₁D₁的中點．
（1）求三棱錐B₁-A₁BE的體積；
（2）試判斷直線B₁F與平面A₁BE是否平行，如果平行，請在平面A₁BE上作出與B₁F平行的直線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）三棱錐B₁-A₁BE的體積${V_{{B_1}-{A_1}BE}}={V_{E-{A_1}{B_1}B}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}B}}•DA$，由此能求出結(jié)果．
（2）B₁F∥平面A₁BE，延長A₁E交AD延長線于H，連BH交CD于G點，則BG就是在平面A₁BE上與B₁F平行的直線．

解答 解：（1）如圖所示，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2，E、F分別是棱DD₁、C₁D₁的中點．
∴三棱錐B₁-A₁BE的體積：
${V_{{B_1}-{A_1}BE}}={V_{E-{A_1}{B_1}B}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}B}}•DA=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•2=\frac{4}{3}$．
（2）B₁F∥平面A₁BE．
延長A₁E交AD延長線于H，連BH交CD于G點，
則BG就是在平面A₁BE上與B₁F平行的直線．
證明如下：
因為BA₁∥平面CDD₁C₁，平面A₁BH∩平面CDD₁C₁=GE，
所以A₁B∥GE，又A₁B∥CD₁，則G為CD的中點，
故BG∥B₁F，BG就是在平面A₁BE上與B₁F平行的直線．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查線面是否平行的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．