Question

3．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為15，則$\int_{-a}^a{（\sqrt{1-{x^2}}+sin2x）dx}$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算a，再根據(jù)定積分的幾何意義和性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：∵${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為15，∴C${\;}_{6}^{2}$（$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁴x²=15，
∴a⁴=1，又a＞0，∴a=1．
∵y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示半徑為1的上半圓，y=sin2x是奇函數(shù)，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，${∫}_{-1}^{1}sin2xdx$=0，
∴$\int_{-a}^a{（\sqrt{1-{x^2}}+sin2x）dx}$=$\frac{π}{2}+0$=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理，定積分的計(jì)算，屬于中檔題．