Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}滿足下列關(guān)系：a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，可得a₂=$\frac{3}{2}$a，a₃=$\frac{4}{3}$a，…，猜想a_n=$\frac{n+1}{n}$a．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，
∴a₂=$\frac{3}{2}$a，a₃=$\frac{4}{3}$a，…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n}$a．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）n=1時(shí)，a₁=2a成立．
（2）假設(shè)n=k∈N^*時(shí)，a_k=$\frac{k+1}{k}$a．
則n=k+1時(shí)，a_k+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{\frac{k+1}{k}a}$=$\frac{k+2}{k+1}$a，也成立．
∴對(duì)于n=k+1時(shí)，猜想成立．
由（1）（2）可知：對(duì)于n∈N^*時(shí)，猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．