Question

若實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²•3lna）²+（c•d+2）²=0，且a∈（0，1），則（a•c）²+（b•d）²的最小值為（　　）

• A、

  1

  e

• B、

  2

  e

• C、

  3

  e

• D、

  4

  e

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²•3lna）²+（c•d+2）²=0，可得b+a²•3lna=0，cd+2=0．即b=-3a²lna，d=-

2

c

．代入（a•c）²+（b•d）²=a2c2+

36a4ln2a

c2

（*），利用基本不等式可得（*）≥a2•2

c2• 36a2ln2a c2

=12a³|lna|=f（a），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²•3lna）²+（c•d+2）²=0，
∴b+a²•3lna=0，cd+2=0．
∴b=-3a²lna，d=-

2

c

．
∴（a•c）²+（b•d）²=a2c2+

36a4ln2a

c2

（*），
∵a∈（0，1），
∴（*）≥a2•2

c2• 36a2ln2a c2

=12a³|lna|=f（a），當(dāng)且僅當(dāng)c²=6alna時取等號．
當(dāng)a∈（0，1）時，f（a）=-12a³lna，f′（a）=-36a²lna-12a²=-12a²（3lna+1），
令f′（a）=0，a=e-

1

3

．
當(dāng)0＜a＜e-

1

3

時，f′（a）＞0，函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；當(dāng)e-

1

3

＜a＜1時，f′（a）＜0，函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（a）最大值，f(e-

1

3

)=

4

e

．
∴（a•c）²+（b•d）²的最小值為

4

e

．
故選：D．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．