Question

8．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-x，則不等式f（x）＞x的解集用區(qū)間表示為（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及x＞0時(shí)函數(shù)的解析式可得x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，對(duì)于不等式f（x）＞x，分2種情況討論：①當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞x為x²-x＞x，即x²-2x＞0，②當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）＞x為-x²-x＞x，即x²+2x＜0，分別求出每種情況下不等式的解集，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)x＜0，則-x＞0，f（-x）=（-x）²-（-x）=x²+x，
又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=-f（x）=-（x²+x）=-x²-x，
即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-x，
分2種情況討論：
①當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞x為x²-x＞x，即x²-2x＞0，
解可得x＜0或x＞2，
則此時(shí)不等式的解集為（2，+∞），
②當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）＞x為-x²-x＞x，即x²+2x＜0，
解可得-2＜x＜0，
則此時(shí)不等式的解集為（-2，0），
綜合可得：不等式f（x）＞x的解集為（-2，0）∪（2，+∞），
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用奇偶性求出函數(shù)在x＜0時(shí)的解析式．