Question

已知△ABC滿足|

AB

|=3，|

AC

|=4，O是△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足|

AO

|=|

BO

|=|

CO

|，且

AO

=λ

AB

+

1-λ

2

AC

（λ∈R），則cos∠BAC=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得O是△ABC的外心，設(shè)AC的中點為D，由條件利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得BD⊥AC，B、O、D三點共線，由cos∠BAC=

AD

AB

計算求得結(jié)果．當(dāng)λ=0時，AB⊥BC，由cos∠BAC=

AB

AC

，求得cos∠BAC的值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：由|

AO

|=|

BO

|=|

CO

|，可得O是△ABC的外心．
∵

AO

=λ

AB

+

1-λ

2

AC

（λ∈R），∴

AO

-

AB

=（λ-1）

AB

+

1-λ

2

AC

，
即

BO

=（λ-1）

AB

+

1-λ

2

AC

=（1-λ）

BA

+

1-λ

2

（

BC

-

BA

）=

1-λ

2

（

BA

+

BC

）．
設(shè)AC的中點為D，則

BO

=

1-λ

2

•2

BD

=（1-λ）

BD

，即B、O、D三點共線．
由于BD⊥AC，∴cos∠BAC=

AD

AB

=

2

3

．
當(dāng)λ=0時，

AO

=

1

2

AC

，此時AB⊥BC，cos∠BAC=

AB

AC

=

3

4

，
故答案為：

2

3

或

3

4

．

點評：本題考查了向量的運算法則、兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，三角形的外心定理、直角三角形的邊角關(guān)系，屬于難題．