Question

設P（t，t²）是拋物線y=x²（0＜x＜1）上的一個動點，過P作拋物線的切線與x軸及直線x=1相交于A、B如圖所示，若△PAC，△PBC的面積分別為g（t）和h（t）．
（1）求g（t）、h（t）；
（2）記號max（a₁，a₂，…a_n）表示數a₁，a₂，…a_n中最大的那個數．設f（t）=max（g（t），h（t））試求f（t）的極大值與極小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數的最值及其幾何意義,數列與函數的綜合

專題：計算題,導數的綜合應用,直線與圓

分析：（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，切線方程，再求A，B的坐標，以及三角形PAC，PBC的面積，即可得到g（t），h（t）；
（2）對g（t），h（t）作差，討論，即可得到f（t），再求導數，求單調區(qū)間，進而得到極值．

解答： 解：（1）由于y=x²（0＜x＜1）的導數y′=2x，
過點P（t，t²）的拋物線的切線PA的斜率為2t，
于是其方程為y-t²=2t（x-t）       
令x=1，得y=2t-t²令y=0則x=

t

2

，
則A（

t

2

，0），B（1，2t-t²），
所以△PAC與△PBC的面積為：
S_△PAC=

1

2

AC•EP=

1

2

(1-

t

2

)•t2，
S_△PBC=

1

2

CB•EC=

1

2

(2t-t2)（1-t），0＜t＜1，
則g（t）=-

1

4

t³+

1

2

t²，h（t）=

1

2

t³-

3

2

t²+t，0＜t＜1，
（2）由g（t）-h（t）=

1

4

t²（2-t）-

1

2

t（1-t）（2-t）
=

1

4

t（2-t）[t-2（1-t）]=

1

4

t（2-t）（3t-2），0＜t＜1
故當0＜t＜

2

3

時，g（t）＜h（t）因此f（t）=h（t），
當

2

3

≤t≤1時，h（t）≤g（t），因此f（t）=g（t），
即f（t）=

1 2 t3- 3 2 t2+t，0＜t＜ 2 3 - 1 4 t3+ 1 2 t2， 2 3 ≤t＜1

，
于是，當0＜t＜

2

3

時，由f′（t）=

1

2

（3t²-6t+2）=0，
解得t=1-

3

3

，可知此乃f（t）的極大值點，
所以極大值是f（1-

3

3

）=

3

9

，無極小值．
當

2

3

≤t＜1時，由f′（t）=

1

4

（4t-3t²）=t（1-

3

4

t）＞0恒成立，
可知f（t）是單調增加的，因此它的極小值是f（

2

3

）=

4

27

，無極大值．
綜上，當t=1-

3

3

時f（t）取極大值

3

9

，當t=

2

3

時f（t）取極小值

4

27

．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調區(qū)間和求極值，考查三角形的面積公式，考查運算能力，屬于中檔題．