分析 (Ⅰ)連結(jié)OF,在正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,由三角形的中位線定理可得OF∥DE,然后利用線面平行的判定得答案;
(Ⅱ)由EC⊥底面ABCD,得EC⊥BD,再由BD⊥AC,由線面垂直的判定得BD⊥平面ACE,進(jìn)一步得到CG⊥BD,在正方形ABCD中,由線段間的長(zhǎng)度關(guān)系得到CG⊥EO,再由線面垂直的判定得答案;
(Ⅲ)由AB=1,求得$EC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,進(jìn)一步得到EC⊥底面ABCD,然后利用等積法求得三棱錐F-ACE的體積.
解答 證明:(Ⅰ)連結(jié)OF,
在正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O
則O為BD的中點(diǎn),
又∵F是EB中點(diǎn),
∴OF是△BDE的中位線,
∴OF∥DE,
∵DE?平面ACF,OF?平面ACF,
∴DE∥平面ACF;
(Ⅱ)∵EC⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,
∴EC⊥BD,
∵BD⊥AC,且AC∩CE=C,
∴BD⊥平面ACE,
∵CG?平面ACE,
∴CG⊥BD,
在正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,且$AB=\sqrt{2}CE$,
∴$CO=\frac{1}{2}AC=CE$,
在△OCE中,G是EO中點(diǎn),
∴CG⊥EO,
∵EO∩BD=E,
∴CG⊥平面BDE;
解:(Ⅲ)∵AB=1,
∴$EC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∵F是EB中點(diǎn),且EC⊥底面ABCD,
∴${V_{F-ACE}}=\frac{1}{2}{V_{B-ACE}}=\frac{1}{2}{V_{E-ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CE=\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{24}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定,訓(xùn)練了利用等積法求三棱錐的體積,是中檔題.
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A. | $\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$,1 | C. | $\sqrt{2}$,0 | D. | 2,-2 |
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