Question

14．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=2，矩形ABCD內(nèi)接于曲線C₁，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（2，$\frac{π}{6}$）和（2，$\frac{5π}{6}$），將曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到曲線C₂．
（1）寫(xiě)出C，D的直角坐標(biāo)及曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）設(shè)M為C₂上任意一點(diǎn)，求|MA|²+|MB|²+|MC|²+|MD|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱性可得：C$（2，\frac{7π}{6}）$，D$（2，\frac{11π}{6}）$，分別化為直角坐標(biāo)．曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=2，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．設(shè)曲線C₂．上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)P（x，y），曲線C₁的任意一點(diǎn)P′（x′，y′），則$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$．代入圓的方程可得x²+4y²=4，可得參數(shù)方程．
（2）A$（\sqrt{3}，1）$，B$（-\sqrt{3}，1）$．設(shè)M（2cosθ，sinθ）．利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=2，矩形ABCD內(nèi)接于曲線C₁，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（2，$\frac{π}{6}$）和（2，$\frac{5π}{6}$），利用對(duì)稱性可得：C$（2，\frac{7π}{6}）$，D$（2，\frac{11π}{6}）$，分別化為直角坐標(biāo)：C$（-\sqrt{3}，-1）$，D$（\sqrt{3}，-1）$．
曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=2，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4．
設(shè)曲線C₂．上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)P（x，y），曲線C₁的任意一點(diǎn)P′（x′，y′），則$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$．代入（x′）²+（y′）²=4，得x²+4y²=4，其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．
（2）A$（\sqrt{3}，1）$，B$（-\sqrt{3}，1）$．設(shè)M（2cosθ，sinθ）．
|MA|²+|MB|²+|MC|²+|MD|²=$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}+（sinθ-1）^{2}$+$（2cosθ+\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ-1）²+$（2cosθ+\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ+1）²+$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ+1）²
=12cos²θ+20∈[20，32]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．