Question

14．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程是ρ=2，矩形ABCD內接于曲線C₁，A，B兩點的極坐標分別為（2，$\frac{π}{6}$）和（2，$\frac{5π}{6}$），將曲線C₁上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的一半，得到曲線C₂．
（1）寫出C，D的直角坐標及曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）設M為C₂上任意一點，求|MA|²+|MB|²+|MC|²+|MD|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對稱性可得：C$（2，\frac{7π}{6}）$，D$（2，\frac{11π}{6}）$，分別化為直角坐標．曲線C₁的極坐標方程是ρ=2，利用互化公式可得直角坐標方程．設曲線C₂．上的任意一點坐標P（x，y），曲線C₁的任意一點P′（x′，y′），則$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$．代入圓的方程可得x²+4y²=4，可得參數(shù)方程．
（2）A$（\sqrt{3}，1）$，B$（-\sqrt{3}，1）$．設M（2cosθ，sinθ）．利用兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的基本關系式及其值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程是ρ=2，矩形ABCD內接于曲線C₁，A，B兩點的極坐標分別為（2，$\frac{π}{6}$）和（2，$\frac{5π}{6}$），利用對稱性可得：C$（2，\frac{7π}{6}）$，D$（2，\frac{11π}{6}）$，分別化為直角坐標：C$（-\sqrt{3}，-1）$，D$（\sqrt{3}，-1）$．
曲線C₁的極坐標方程是ρ=2，化為直角坐標方程：x²+y²=4．
設曲線C₂．上的任意一點坐標P（x，y），曲線C₁的任意一點P′（x′，y′），則$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$．代入（x′）²+（y′）²=4，得x²+4y²=4，其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．
（2）A$（\sqrt{3}，1）$，B$（-\sqrt{3}，1）$．設M（2cosθ，sinθ）．
|MA|²+|MB|²+|MC|²+|MD|²=$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}+（sinθ-1）^{2}$+$（2cosθ+\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ-1）²+$（2cosθ+\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ+1）²+$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ+1）²
=12cos²θ+20∈[20，32]．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其參數(shù)方程、圓的極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的基本關系式及其值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．