Question

已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=2(

1

a1

+

1

a2

)，a3+a4+a5=64(

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

)，
（1）求{a_n}的通項公式
（2）若bn=

log2an 1 an

，

(n為奇數(shù)) (n為偶數(shù))

，T_n為{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁，q表示已知，整理可得

a12q=2 a12q6=64

，解方程可求a₁，q，利用等比數(shù)列的通項可求a_n
（2）由題意可得意可得，bn=

log2an 1 an

，

(n為奇數(shù)) (n為偶數(shù))

=

n-1，n為奇數(shù) ( 1 2 )n-1，n為偶數(shù)

，要求T_n，需要考慮b_n，故需考慮討論①n為奇數(shù)②n為偶數(shù)兩種情況分別進行求解

解答：解：（1）由題意可得，

a1(1+q)=2 1 a1 (1+ 1 q ) a3(1+q+q2)=64• 1 a3 (1+ 1 q + 1 q2 )

整理可得，

a12q=2 a12q6=64

∴

a1=1 q=2

∴由等比數(shù)列的通項公式可得，a_n=2^n-1
（2）由題意可得，bn=

log2an 1 an

，

(n為奇數(shù)) (n為偶數(shù))

=

n-1，n為奇數(shù) ( 1 2 )n-1，n為偶數(shù)

當n為偶數(shù)時，T_n=0+

1

2

+2+(

1

2

)3+…+（n-2）+(

1

2

)n-1
=

1

2

+(

1

2

)3+…(

1

2

)n-1+[0+2+…+（n-2）]
=

1 2 [1-( 1 4 ) n 2 ]

1- 1 4

+

n-1

2

×

n

2

-1
=

2[1-( 1 2 )n]

3

+

n(n-1)

4

-1
當n為奇數(shù)時，T_n=0+

1

2

+2+ (

1

2

)3+4+…+(

1

2

)n-2+（n-1）
=[0+2+4+…+（n-1）+[

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-2]
=

n(n+1)

2

×

1

2

+

1 2 [1-( 1 4 ) n 2 ]

1- 1 4

=

n(n+1)

4

+

2[1-( 1 2 )n]

3

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應用，這是數(shù)列部分的基本試題類型，數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應用，注意分類討論思想在解題中的應用．