Question

19．如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD滿足AC=BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點．
（1）求證：∠ACE=∠BCD；
（2）若BE=9，CD=1，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）運用等弧所對的圓周角相等和圓的弦切角定理，即可得證；
（2）由圓的弦切角定理和三角形的相似的判定定理可得△BEC∽△CBD，由性質(zhì)定理計算即可得到所求BC的長．

解答 解：（1）證明：由AC=BD
即有弧AC的長等于弧BD的長，
可得∠ABC=∠BCD，
又EC為圓的切線，
可得∠ACE=∠ABC，
即有∠ACE=∠BCD，
（2）解：由EC為圓的切線，
可得∠CDB=∠BCE，
由（1）可得∠ABC=∠BCD，
即有△BEC∽△CBD，
可得$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{BE}$，
由BE=9，CD=1，
則BC²=CD•BE=9，
即BC=3．

點評 本題考查圓的弦切角定理和三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．