Question

6．函數(shù)f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求方程f（x）=0的解．
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)對數(shù)的運算性質化簡計算即可，
（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調性得到f（x）_min=log_a4，即可求出a的值．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義：則有$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ x+3＞0\end{array}\right.$，解之得：-3＜x＜1
函數(shù)可化為$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）$
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1
即x²+2x-2=0，∵$-1±\sqrt{3}∈（-3，1）$∴f（x）=0的解為$x=-1±\sqrt{3}$，
（2）函數(shù)化為：$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）={log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]$，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，
∴${log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]≥{log_a}4$
即f（x）_min=log_a4
由log_a4=-1，得a^-1=4，
∴$a=\frac{1}{4}$

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質和對數(shù)函數(shù)的運算性質，屬于中檔題．