Question

15．已知三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的中線長為3，當三角形ABC的面積最大時，AB的長為（　�。�

• A． $2\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{6}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達式，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系求得sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值時的x即可．

解答 解：設AB=AC=2x，AD=x．
設三角形的頂角θ，則由余弦定理得cosθ=$\frac{（2x）^{2}+{x}^{2}-9}{2×2x×x}$=$\frac{5{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}}{4{x}^{2}}$，
 根據(jù)公式三角形面積S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x•2x•$\frac{\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}}{4{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}}{2}$，
∴當 x²=5時，三角形面積有最大值．此時x=$\sqrt{5}$．
AB的長：2$\sqrt{5}$．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應用，根據(jù)條件設出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關系是解決本題的關鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．運算量較大．