Question

20．為了測量河對岸兩點A，B之間的距離，在河岸的這邊選取點C、D，測得∠ADC=75°，∠BDC=60°，∠ACD=45°，∠BCD=75°，CD=20$\sqrt{3}$m，設A，B，C，D在同一平面內(nèi)，求A，B之間的距離．

Answer 1

分析 在△BCD中使用正弦定理解出BC，在△ACD中使用正弦定理解出AC，在△ABC中使用余弦定理解出AB．

解答 解：在△BCD中，∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD=45°，
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，即$\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得BC=30$\sqrt{2}$m．
在△ACD中，∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=60°．
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AC}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，解得AC=10$\sqrt{6}$+10$\sqrt{2}$m．
在△ABC中，∠ACB=∠BCD-∠ACD=30°，
由余弦定理得AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cos∠ACB=800-200$\sqrt{3}$．
∴AB=10$\sqrt{8-2\sqrt{3}}$m．

點評 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．