Question

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，在側(cè)面上，有下列四個(gè)命題：

①若，則面積的最小值為；

②平面內(nèi)存在與平行的直線；

③過(guò)作平面，使得棱，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等，則這樣的平面有4個(gè)；

④過(guò)作面與面平行，則正方體在面的正投影面積為．

則上述四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①建立空間坐標(biāo)系，得到點(diǎn)應(yīng)該滿足的條件，再根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法求解即可；對(duì)于②，平面，所以也與平面相交．故②錯(cuò)；對(duì)于③過(guò)作平面，使得棱，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等，因?yàn)?/span>，且，所以在平面的正投影長(zhǎng)度與在平面的正投影長(zhǎng)度相等，然后分情況討論即可得到平面的個(gè)數(shù)；對(duì)于④面與面平行，則正方體在面的正投影為正六邊形，且正六邊形的邊長(zhǎng)為正三角形外接圓的半徑，故其面積為．

解：對(duì)于①，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示；

過(guò)作平面，是垂足，過(guò)作，交于，連結(jié)，

則，，，，，，，

設(shè)，則，，

∵，

∴，解得，

∴，，

，

∴，

當(dāng)時(shí)，，①正確；

對(duì)于，平面，所以也與平面相交．故②錯(cuò)；

③過(guò)作平面，使得棱，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等，因?yàn)?/span>，且，故在平面的正投影的長(zhǎng)度等于在平面的正投影的長(zhǎng)度，使得棱，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等，即使得使得棱，，面的正投影的長(zhǎng)度相等，若棱，，面的同側(cè)，則為過(guò)且與平面平行的平面，若棱，，中有一條棱和另外兩條棱分別在平面的異側(cè)，則這樣的平面有3個(gè)，故滿足使得棱，，在平面的正投影的長(zhǎng)度相等的平面有4個(gè)；③正確．

④過(guò)作面與面平行，則正方體在面的正投影為一個(gè)正六邊形，其中平面，而分別垂直于正三角形和，所以根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，在平面內(nèi)的投影點(diǎn)重合與正六邊形的中心，其它六個(gè)頂點(diǎn)投影恰是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，且正六邊形的邊長(zhǎng)等于正三角形的外接圓半徑（投影線與正三角形、垂直），所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以投影的面積為．④對(duì)．

故選：C．