Question

20．已知函數(shù)$f（x）=2sin?xcos?x-2\sqrt{3}{cos^2}?x+\sqrt{3}（{?＞0}）$，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a（a為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求f（x）的表達(dá)式及a的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x），求其單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）把式子化成一個三角函數(shù)的形式，即可求出最小正周期，利用周期公式可求ω，即可求得f（x）的表達(dá)式及a的值．
（2）再根據(jù)圖象的平移可求出函數(shù)y=g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得$f（x）=2sinωxcosωx-2\sqrt{3}{cos^2}ωx+\sqrt{3}=2sin（{2ωx-\frac{π}{3}}）$，
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a（a為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列，可知函數(shù)的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，∴$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，∴a=±2．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到$y=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
再向上平移1個單位，得到$y=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，即$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，整理得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
所以函數(shù)y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間是$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]，k∈Z$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．