Question

16．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，消去參數(shù)求出普通方程即可．
（2）求出P的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出中點(diǎn)M，代入曲線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t可得（x+4）²+（y-3）²=1，曲線是圓，圓心（-4，3）半徑為1．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．消去θ可得：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為8，短半軸的長(zhǎng)為3．
（2）點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，代入曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
可得P（-4，4），Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，
Q（8cosθ，3sinθ），M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，
點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）距離：d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ-3sinθ-13|，
當(dāng)cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$-\frac{3}{5}$時(shí)，d取得最小值為：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．