Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的取值．
（Ⅱ）若對任意實數(shù)t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f（0）=

-1+b

2+a

=0，f（1）=-f（-1），由此能求出a，b．
（Ⅱ）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，從而f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），由此能求出k＜-

1

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，
∴f（0）=

-1+b

2+a

=0，解得b=1．
從而有f（x）=

-2x+1

2x+1+a

，
又由f（1）=-f（-1）知

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +1

1+a

，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
又因f（x）是奇函數(shù)，
從而不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
因f（x）是減函數(shù)，由上式推得t²-2t＞-2t²+k，
即對一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，是中檔題．