Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥PD，異面直線PA與CD所成角等于60°．
（1）求證：平面PCD⊥平面PBD；
（2）求直線CD和平面PAD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為$\sqrt{5}$？若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PB⊥CD，CD⊥PD，從而CD⊥平面PBD，由此能證明平面PCD⊥平面PBD．
（2）以B為原點(diǎn)，BA、BC、BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CD和平面PAD所成角的正弦值．
（3）求出平面DEB的一個法向量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出在棱PA上存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為$\sqrt{5}$，E為棱PA上靠近A的三等分點(diǎn)．

解答 證明：（1）∵PB⊥底面ABCD，∴PB⊥CD，
又∵CD⊥PD，PD∩PB=P，PD，PB?平面PBD，
∴CD⊥平面PBD，∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBD．
解：（2）如圖，以B為原點(diǎn)，BA、BC、BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由（1）知△BCD是等腰直角三角形，∴BC=4，
設(shè)BP=b（b＞0），則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D（2，2，0），P（0，0，b），
則$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-b），$\overrightarrow{CD}$=（2，-2，0），
∵異面直線PA、CD所成角為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4+^{2}}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=2，
∵$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
設(shè)平面PAD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)直線CD和平面PAD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線CD和平面PAD所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．
（3）假設(shè)棱PA上存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為$\sqrt{5}$，
設(shè)$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PA}$，（0＜λ＜1），且E（x，y，z），則（x，y，z-2）=λ（2，0，-2），
∴E（2λ，0，2-2λ），設(shè)平面DEB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{BE}$=（2λ，0，2-2λ），$\overrightarrow{BD}$=（2，2，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=2λa+（2-2λ）c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=λ-1，得$\overrightarrow{m}$=（λ-1，λ-1，λ），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
∵平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為$\sqrt{5}$，
∴平面PAB與平面BDE所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1-λ}{\sqrt{2（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$或λ=2（舍），
∴在棱PA上存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為$\sqrt{5}$，E為棱PA上靠近A的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．