Question

已知函數f（x）=x²-2ax+4b²，a，b∈R．
（Ⅰ）若a從集合{3，4，5}中任取一個元素，b從集合{1，2，3}中任取一個元素，求方程f（x）=0有兩個不相等實根的概率；
（Ⅱ）若a從區(qū)間[0，2]中任取一個數，b從區(qū)間[0，3]中任取一個數，求方程f（x）=0沒有實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：分析：（Ⅰ）因為a，b∈Z，且a∈A，b∈B，這是一個古典概型，設事件E為““方程f（x）=0有兩個不相等的實根”為事件A，分別算出基本事件個數和事件A中包含的基本事件，最后根據概率公式即可求得事件E的概率．
（2）由已知化簡集合A和B，設事件“x∈A∩B”的概率為P₁，這是一個幾何概型，測度是長度，代入幾何概型的計算公式即可；

解答： 解：設“方程f（x）=0有兩個不相等的實根”為事件A，
當a＞0，b＞0時，方程f（x）=0有兩個不相等實根的充要條件為a＞2b．
當a＞2b時，a，b取值的情況有（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），
即A包含的基本事件數為4，而基本事件總數為9．
∴方程f（x）=0有兩個不相等實根的概率P（A）=

4

9

；

（2）由已知a∈A=x|0＜x＜2}，b∈B=x|0＜x＜3}，（2分）
設事件“方程f（x）=0沒有實根”為事件B，
當a＞0，b＞0時，方程f（x）=0沒有實根的充要條件為a＜2b，
這是一個幾何概型，則P（B）=

1 2 ×1.5×3

2×3

=

3

8

點評：本小題主要考查古典概型、幾何概型等基礎知識．古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結果不是有限個，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．