Question

若動(dòng)點(diǎn)（x，y）在曲線

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上變化，則x²+2y的最大值為

b2

4

+4或2b

．

Answer 1

分析：用三角換元x=2cosθ，y=bsinθ，將其代入x²+2y得x²+2y=-4(sinθ-

b

4

)2+

b2

4

+4，再根據(jù)b的取值范圍進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到x²+2y的最大值．

解答：解：由題意，可令x=2cosθ，y=bsinθ，則
x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4=-4(sinθ-

b

4

)2+

b2

4

+4，
∵b＞0，∴

b

4

＞0
①當(dāng)

b

4

∈（0，1]時(shí)，即0＜b≤4時(shí)，當(dāng)sinθ=

b

4

時(shí)，x²+2y取得最大值

b2

4

+4，
②當(dāng)

b

4

∈（1，+∞）時(shí)，即b＞4時(shí)，當(dāng)sinθ=1時(shí)，x²+2y取得最大值2b
故答案為：

b2

4

+4或2b

點(diǎn)評(píng)：本題給出曲線

x2

4

+

y2

b2

=1上的動(dòng)點(diǎn)（x，y），求x²+2y的得最大值．著重考查了三角換元法解決二次曲線問(wèn)題和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．