Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），a∈R
（1）若a=0時(shí)，求f（x）在x=1處的切線
（2）若函數(shù)f（x）＞0 對(duì)?x∈（1，+∞）恒成立．求a的取值范圍
（3）從編號(hào)為1到2015的2015個(gè)小球中，有放回地連續(xù)取16次小球 （每次取一球），記所取得的小球的號(hào)碼互不相同的概率為p，求證：$\frac{1}{p}$＞e${\;}^{\frac{120}{2011}}$．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）由題意可得（x+1）lnx-a（x-1）＞0 對(duì)x∈（1，+∞） 恒成立，即lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$＞0對(duì)x∈（1，+∞）  恒成立．令g（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，x∈（1，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=x²+（2-2a）x+1，（x＞1），對(duì)a討論，求出單調(diào)性，即可得到a的范圍；
（3）求出p=$\frac{2015×2014×…×2000}{201{5}^{16}}$，由2000×2014＜2007²，…，2006×2008＜2007²，運(yùn)用累乘法
再由（2）得lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），令x=$\frac{2015}{2007}$，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（x+1）lnx，f（1）=0，
f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，f′（1）=2，
所以f（x）在x=1處的切線為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0 …（2分）
（2）由題意（x+1）lnx-a（x-1）＞0 對(duì)x∈（1，+∞） 恒成立，
即lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$＞0對(duì)x∈（1，+∞）  恒成立．
g（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，x∈（1，+∞），
g′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-2a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，（x＞1）
令h（x）=x²+（2-2a）x+1，（x＞1），
①當(dāng)a≤2 時(shí)，h（x）的對(duì)稱軸為x=a-1≤1
則h（x） 在（1，+∞）上遞增，
即h（x）＞h（1）=4-2a≥0，所以g′（x）＞0（x＞1）恒成立，
則g（x）在（1，+∞）上遞增，g（x）＞g（1）=0恒成立，符合要求；
 ②a＞2時(shí)，△=（2-2a）²-4=4a（a-2）＞0，
 且h（1）=4-2a＜0，則h（x）=0（x＞1）有唯一根x=x₀，
 則x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，
則g（x）在（1，x₀）上遞減，
即有?x∈（1，x₀），g（x）＜g（1）=0，
這與g（x）＞0（x＞1）恒成立矛盾．舍去．
綜上：a≤2…（8分）
（3）p=$\frac{2015×2014×…×2000}{201{5}^{16}}$，
由2000×2014＜2007²，…，2006×2008＜2007²，
 可得p=$\frac{2015×2014×…×2000}{201{5}^{16}}$＜$\frac{200{7}^{15}}{201{5}^{15}}$，
又由（2）得lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），
則ln$\frac{2015}{2007}$＞$\frac{2（\frac{2015}{2007}-1）}{\frac{2015}{2007}+1}$=$\frac{8}{2011}$，
則$\frac{2015}{2007}$＞e${\;}^{\frac{8}{2011}}$，（$\frac{2015}{2007}$）¹⁵＞e${\;}^{\frac{120}{2011}}$
 故$\frac{1}{p}$＞（$\frac{2015}{2007}$）¹⁵＞e${\;}^{\frac{120}{2011}}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題解法和不等式證明，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，屬于難題．