Question

【題目】【2015江蘇高考，18】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因?yàn)橹本�AB過F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長(zhǎng)，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.

試題解析：（1）由題意，得且，

解得，，則，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）當(dāng)軸時(shí)，，又，不合題意．

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

將的方程代入橢圓方程，得，

則，的坐標(biāo)為，且

．

若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意．

從而，故直線的方程為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而．

因?yàn)?/span>，所以，解得．

此時(shí)直線方程為或．