【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)（提示：）

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?/span>，所以.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得極小值，亦即最小值.又因?yàn)?/span>，所以．設(shè)，則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，且，，所以有唯一的零點(diǎn)，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又由于，，所以恒成立.從而恒成立，則恒成立.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).

試題解析：解：（1）因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，取得極小值.

（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得極小值，亦即最小值.

，又因?yàn)?/span>，所以．

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，且，，

所以有唯一的零點(diǎn)，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又由于，，

所以恒成立.從而恒成立，則恒成立.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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