Question

5．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），在同一平面直角坐標系中，將曲線C上的點按坐標變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到曲線C'，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．
（1）寫出曲線 C與曲線C'的極坐標的方程；
（2）若過點A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$）（極坐標）且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l與曲線C交于M，N兩點，試求|AM|•|AN|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程．由坐標變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入上述方程可得曲線C′．利用極坐標與直角坐標的互化公式可得：曲線 C與曲線C'的極坐標的方程．
（2）點A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$）化為直角坐標為（2，2），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，代入橢圓方程得到關(guān)于t的一元二次方程，利用|AM|•|AN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
由坐標變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入上述方程可得曲線C′：（x′）²+（y′）²=1．
曲線C與曲線C'的極坐標的方程分別為：$C：\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}α}}{9}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}α}}{4}=1，C'：ρ=1$．
（2）點A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$）的直角坐標為（2，2），
直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，可得$\frac{31}{4}{t^2}+（{8+18\sqrt{3}}）t+16=0$，
∴$|{AM}|•|{AN}|=|{{t_1}•{t_2}}|=\frac{64}{31}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、參數(shù)方程化為普通方程、直線方程的應用、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．