Question

16．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上兩個解，則實數(shù)m的取值范圍為-9＜m＜0．

Answer 1

分析 由方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上兩個解轉(zhuǎn)化為m=f（x）-x²=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在（0，+∞）上兩個解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和取值范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上兩個解，
∴等價為m=f（x）-x²=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在（0，+∞）上兩個解，
設h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
則h′（x）=x²-2x-3，
由h′（x）＞0得x＞3或x＜-1（舍），
由h′（x）＜0得-1＜x＜3，即0＜x＜3，
即當x=3時，函數(shù)取得極小值h（3）=9-9-9=-9，
∵h（0）=0，
∴要使m=h（x）在（0，+∞）上有兩個解，
則-9＜m＜0；
故答案為：-9＜m＜0

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和取值范圍是解決本題的關鍵．