Question

7．如圖所示，過點（1，0）的直線與拋物線y²=x交于A、B兩點，射線OA和OB分別和圓（x-2）²+y²=4交于D、E兩點，若$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△ODE}}$=λ，則λ的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 設A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線的方程，運用韋達定理，再由直線OA，OB代入圓方程，可得D，E的坐標，再由$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△ODE}}$=λ=$\frac{OA•OB}{OD•OE}$=$\frac{OA}{OD}$•$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1+{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{1+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，化簡整理代入，即可得到所求最小值．

解答 解：設A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），直線AB的方程為x=my+1，
代入拋物線的方程可得y²-my-1=0，
即有y₁y₂=-1，y₁+y₂=m，
由直線OA：y=$\frac{x}{{y}_{1}}$代入圓（x-2）²+y²=4，可得：
（1+y₁²）x²-4y₁²x=0，求得D（$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{1+{{y}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{y}_{1}}{1+{{y}_{1}}^{2}}$），
同理可得E（$\frac{4{{y}_{2}}^{2}}{1+{{y}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{y}_{2}}{1+{{y}_{2}}^{2}}$），
即有$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△ODE}}$=λ=$\frac{OA•OB}{OD•OE}$=$\frac{OA}{OD}$•$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1+{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{1+{{y}_{2}}^{2}}{4}$
=$\frac{1+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+1}{16}$=$\frac{2+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{16}$=$\frac{4+{m}^{2}}{16}$≥$\frac{1}{4}$，
當且僅當m=0時，λ取得最小值$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查直線和圓的交點的求法，注意聯(lián)立方程組，考查運算能力，屬于中檔題．