Question

16．求下列函數(shù)的最值及取得最值時x的值：
（1）y=cos²x+sinx（x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]）；
（2）y=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）（x∈[0，π]）．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)y的最值．
（2）由條件求得 x-$\frac{π}{3}$的范圍，可得sin（ x-$\frac{π}{3}$）的范圍，從而求得函數(shù)y的最值．

解答 解：（1）∵y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，故當sinx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)y取得最小值$\frac{2-2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，此時，x=-$\frac{π}{4}$；
當sinx=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y取得最大值為$\frac{5}{4}$，此時，x=$\frac{π}{6}$．
（2）對于y=-2sin（x-$\frac{π}{3}$），∵x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故當sin（x-$\frac{π}{3}$）=1時，函數(shù)y取得最小值為-2，此時，x=$\frac{5π}{6}$；
當sin（x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，函數(shù)y取得最大值為$\sqrt{3}$，此時，x=0．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．